题目 不同路径 1

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

输入说明

例如，上图是一个 7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

说明：m 和 n 的值均不超过 100。

示例 1:

输入: m = 3, n = 2

输出: 3

解释:

从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

分析

这题我第一眼就是想到 dp 23333，既然机器人只能向下或者向右，那么哪一步可以到达右下角呢?

只能是右下角的上边或者左边走一步，是吧，那么假设 f(n,m) 是最后一步的路径数则是上边 f(n-1,m) 加左边 f(n,m-1)

即：

f(n,m)=f(n-1,m)+f(n,m-1)

而第一行和第一列因为只有一种方向所以都是 1 ～～

代码还用写？

要的

直观一点套公式走起

int uniquePaths(int m, int n) {        if(m==1 || n==1) return 1;        int nums[m][n];        for(int i=0; i

时间复杂度：O(m*n)

空间复杂度：O(m*n)

在这里我们是使用了二维数组来记录每一行的路径，但是我们真的需要每一行的路径记录吗？

所以我想了一下改成一维数组：

int uniquePaths(int m, int n) {       int nums[n];      for (int i = 0; i < n; i++) {          nums[i] = 1;      }      for (int i = 1; i < m; i++) {          for (int j = 1; j < n; j++) {              nums[j] = nums[j] + nums[j - 1];          }      }      return nums[n - 1];  }

时间复杂度：O(m*n)

空间复杂度：O(n)

能看懂吗？

应该不用解释了吧 0.0

再度分析：另一种解法

那么如果只能向下或者向右，而都是从左上角走到右下角，意味着机器人向下和向右都是固定的次数

即是向下 m－1 步，向右 n－1 步，总共走了 c ＝ m+n-2 步

那么总是向右和向下的组合，是不是直接使用排列组合的组合公式求出就行了呢，23333

ps：其实想写出公式的，但是不怎么会用math格式 orz

马上来试试！！

int uniquePaths(int m, int n) {      int d = m - 1; //向下的步数      int c = n + m - 2;  //总共的步数      long num = 1; //结果，乘法累计所以初始化1      for (int i = 1; i <= d; i++)        num = num * (c - d + i) / i;      return (int) num;  }

时间复杂度：O(m)

空间复杂度：O(1)

完美 233

后面还有两道题目修改的 2 、3 所以未完待续.....